Définition :
Un point pondéré est la donnée d'un couple \((A,\omega)\), formé d'un point \(A\) et d'un poids \(\omega\in{\Bbb R}^*\)
(Point)
Formules
Addition d'un point pondéré et d'un vecteur
Définition :
Pour un vecteur \(\vec u\), on pose $${{(A,\omega)+\vec u}}:={{\left( A+\frac1\omega\vec u,\omega\right)}}\qquad\text{si }\omega\ne0$$
(Vecteur)
Vecteur sous-jacent
Étant donné un point pondéré \((A,\omega)\), on note \(\overrightarrow{(A,\omega)}\) le vecteur \(\omega\vec A\) et on l'appelle le vecteur sous-jacent à \((A,\omega)\)
(Vecteur sous-jacent)
Proposition : $${{\overrightarrow{(A,\omega)+\vec u} }}={{\overrightarrow{(A,\omega)}+\vec u}}$$
Somme d'une famille de points pondérés
Définition :
On définit la somme d'une famille \((A_i,\omega_i)\) de points pondérés de la façon suivante : $${{\sum(A_i,\omega_i)}}={{\begin{cases}(\sum\overset{\;-}{\omega_i}A_i,\omega)&\text{si}\quad\sum\omega_i\ne0\\ \sum\omega_iA_i&\text{si}\quad\sum\omega_i=0\end{cases}}}$$ donc c'est soit le barycentre pondéré par le poids total de la famille, soit un vecteur
Remarque :
Si on considère que le poids d'un vecteur est \(0\), alors "le poids d'une somme pondérée est la somme des poids"
Proposition :
Si \(A_1=\cdots=A_n=A\), alors $${{\sum(A_i,\omega_i)}}={{\left( A,\sum\omega_i\right)}}$$
Vecteur
Proposition : $${{\overrightarrow{\sum(A_i,\omega_i)} }}={{\sum\overrightarrow{(A_i,\omega_i)} }}$$ avec la convention pour les vecteurs \(\vec{\vec u}=\vec u\)
Egalité de sommes de points pondérés
Proposition :
\(\sum(A_i,\alpha_i)=\sum(B_j,\beta_j)\) si et seulement si...
Propriété :
La somme des points pondérés est associative, i.e. $$\sum^n_{i=1}(A_i,\omega_i)=\left(\sum^{k-1}_{i=1}(A_i,\omega_i)\right)+\left(\sum^n_{i=k}(A_i,\omega_i)\right)\quad\text{ pour }\quad k\in[\![1,n]\!]$$
(Associativité)
Remarque :
Puisque la somme des poids pondérés est associative, on peut remplacer une partie des points par leur barycentre dans une somme en y mettant la somme des poids correspondants
(Barycentre)